ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

бесселевы функции,- решения Z_v дифференциального уравнения Бесселя

где v - произвольное действительное или комплексное число (см. Бесселя уравнение).

Цилиндрические функции произвольного порядка.
Если vне является целым числом, то общее решение урарнения (1) имеет вид

где с ₁ и с ₂ - постоянные, a J_v и J_-v- т. н. Ц. ф. 1-го рода, или Бесселя функции. Для них справедливо разложение

Ряд в правой части для сходится абсолютно и равномерно при всех где Rи N - произвольные положительные числа. Функции и -аналитические, с особыми точками z = 0 и производные и удовлетворяют следующему тождеству:

Если же v - целое, то и линейно зависимы, и их линейная комбинация уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. 1-го рода, вводят Ц. ф. 2-го рода N_v (z) (или Неймана Функции, функции Вeбора):

(другое обозначение Y_v(z)).При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде

Важны для приложений и другие решения уравне ния (1) - Ц. ф. 3-го рода (или Ганкеля функции).
Их обозначают через и и, по определению, полагают

Справедливы тождества

и соотношения

Для действительных z = x и ш функции Ганкеля являются комплексно сопряженными решениями уравнения (1). При этом функции J_v(z)дают действительную часть, а функции N_v(x). мнимую часть функций Ганкеля.
Ц. ф. 1-го, 2-го и 3-го рода Z_v удовлетворяют рекуррентным формулам

Каждая пара функций

образует (при нецелом v) фундаментальную систему решений уравнения (1).
Модифицированными Ц. ф. наз. Ц. ф. мнимого аргумента

и Мaкдoналъда функции:

Эти функции являются решениями дифференциального уравнения

и удовлетворяют рекуррентным формулам

Цилиндрические функции целых и полуцелых порядков. Если v=n - целое число, то J_n(z) можно определить с помощью формулы Якоби - Ангера

или

Справедливы равенства

Функция J_n(z)есть целая трансцендентная функция аргумента z;для алгебраического z = a, J_n(z) есть трансцендентное число и при
В качестве второго линейно независимого с J_n(z) решения уравнения (1) обычно берут функцию

где с=0,577215...- постоянная Эйлера. Если в одной из конечных сумм верхний индекс суммирования меньше нижнего, то соответствующая сумма получает значение 0. Справедливо равенство Y_-n(z)=(-1)ⁿY_n(z).
Ц. ф. тогда и только тогда превращаются в элементарные функции, когда индекс v принимает значение v=n+¹/₂, n=0,1,2,... (сферические функции Бесселя, или Ц. ф. полуцелого порядка). Справедливы формулы (n=0, 1, 2, ...):

в частности

в частности

Интегральные представления цилиндрических функций. Для v=n=0,1,2,... имеется интегральное представление Бесселя

и

Для и R(z) > 0 имеется интегральное представление Пуассона

и

Кроме этих представлений, существует много других интегральных представлений, в частности в виде контурных интегралов (см. [2], [4], [5]).

Асимптотическое поведение цилиндрических функций. Для справедливо

Для действительных z=x имеют место

Для имеют место следующие оценки

Для п = 0, 1, 2, ... , ряды (9) и (10) обрываются. Функции Ганкеля являются единственными Ц. ф., к-рые стремятся к нулю для комплексных значений переменного . при (и в этом их особое значение для приложений):

Для больших значений |z| и |v| применимы асимптотич. ряды специальных типов (см. [1], [2], [3], [5]).

Нули цилиндрических функций. Нули, произвольной Ц. ф. являются простыми нулями за исключением z = 0. Если а, b, v - действительные, то между двумя действительными нулями J_n(z) лежит один действительный нуль аJ_n(z)+bN_v(z). При действительном v J_n(z) имеет бесконечно много действительных нулей; для v>-1 все нули J_v(z) действительны; если 0<j_v, 1 < j_v,2 < ....-положительные нули J_n(z), то

0 < j_v, 1 < j_v+1, 1 < j_v, 2 < j_v+1,21 < j_v, 3 < ......

Для v>0 справедливо j_v,1>0 ; также для наименьшего положительного нуля функции J'_v(z) имеет место j'_v, 1> 0. Пары функций (z), п = 0, 1, 2, ..., т=1, 2, 3, ..., не имеют, кроме z = 0, общих нулей. Если
то J_v(z)имеет ровно 4n + 2 комплексных нулей, из к-рых два - чисто мнимые; если n=1, 2, 3, . . ., то J_v(z)имеет ровно 4n комплексных нулей с отличной от нуля действительной частью.

Теоремы сложения и разложения в ряды по цилиндрическим функциям. Справедливы следующие теоремы сложения:

где

- ультрасферические многочлены. При разложении Ц. ф. используются Ломмеля многочлены, Неймана ряды, Фурье-Бесселя ряды, Дирихле ряды.
С Ц. ф. связаны Ангера функция, Струве функции, Ломмеля функции, Кельвина функции, Эйри функции.
Ц. ф. можно определить как предельные значения сферич. функций следующим образом:

При этом асимптотич. представления сферич. функций связаны с Ц. ф., и наоборот, как, напр., в формуле Xильба:

и в разложениях Макдональда, Ватсона, Трикоми и др. (см. [1], [2], [4]).

Вычисление значений Ц. ф. на ЭВМ. Дли вычислений значений функций J₀(x), J₁(x), N₀(x), N₁(x), I₀(x), I₁(x), K₀(x), K₁(x) удобны аппроксимации многочленами и рациональными функциями (см. [5]). О разложениях по многочленам Чебышена см. [6]. Для вычисления функций больших целых порядков, особенно на ЭВМ, применяются рекуррентные соотношения (5) -(7) (см. [5]).
Сведения об имеющихся таблицах Ц. ф. приводятся в [7], [8], [9].

Лит.:[1] Ватсон Дж. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1, М., 1949; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А.,Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1974; [3] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963; [4] Градштеейн И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Г